\( \sin^3(x) \cos^2(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

通过分离出一个正弦因子来改写积分：

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) 并代入：

\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

展开被积函数：

\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]

使用换元积分法：令 \( u = \cos x \)，从而得到 \( du = -\sin x \, dx \) 或 \( \sin x \, dx = -du \)。代入后得：

\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]

使用常用积分公式 \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \) 计算积分：

\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = \cos x \) 得到最终答案：